UNIDAD I
ELECTROSTATICA
ELECTROSTATICA
1.1. Introducción
La palabra estática significa “en reposo” y la electricidad puede encontrarse en reposo. Cuando se frotan ciertos materiales entre sí, la fricción causa una transferencia de electrones de un material al otro. Un material puede perder electrones en tanto otro los ganará. Alrededor de cada uno de estos materiales existirá un campo electrostático y un diferencia de potencial, entre los materiales de diferentes cargas. Un material que gana electrones se carga negativamente, y uno que entrega electrones se carga positivamente.
Una de las leyes básicas de la electricidad es :
Los cuerpos con cargas diferentes se atraen. Los cuerpos con cargas semejantes se repelen.
El campo eléctrico invisible de fuerza que existe alrededor de un cuerpo cargado, puede detectarse con un electroscopio. Por lo tanto llamaremos electricidad al movimiento de electrones.
Electrostática. Estudio de la electricidad en reposo.
1.2. Sistema de unidades
Hay dos grandes sistemas de unidades en el mundo actualmente: el sistema inglés y el sistema métrico.
El sistema métrico.
La necesidad de contar con un sistema más uniforme y adecuado de unidades condujo al desarrollo del sistema métrico, que se emplea hoy en la mayor parte de los países del mundo.
El metro fue asignado a la unidad de longitud. Ese vocablo se tomó de la palabra griega metron, que significa “medida”. El metro se definió inicialmente como la diezmillonésima parte de la distancia entre el Polo Norte y el Ecuador a lo largo de un meridiano que pasaba por Francia.
Tabla 1.1. Prefijos del sistema métrico
La unidad de carga en el SI de unidades es el coulomb (C). El coulomb se define en términos de la unidad de corriente llamada ampere (A), donde la corriente es igual a la rapidez de flujo de carga.
En el sistema métrico, una unidad de la intensidad del campo eléctrico es el newton por coulomb (N/C). La utilidad de esta definición descansa en el hecho de que si se conoce el campo en un punto dado, puede predecirse la fuerza que actuará sobre cualquier carga colocada en dicho punto.
La dirección (y sentido) de la intensidad del campo eléctrico E en un punto del espacio, es la misma que la dirección (y sentido) en la cual una carga positiva se movería si fuera colocada en dicho punto.
1.3. Carga eléctrica y sus propiedades
Es posible llevar a cabo cierto número de experimentos para demostrar la existencia de fuerzas y cargas eléctricas. Por ejemplo, si frotamos un peine contra nuestro pelo, se observará que aquél atraerá pedacitos de papel. A menudo la fuerza de atracción es lo suficientemente fuerte como para mantener suspendidos los pedacitos de papel. El mismo efecto ocurre al frotar otros materiales, tales como vidrio o el caucho.
En una sucesión sistemática de experimentos un tanto simples, se encuentra que existen dos tipos de cargas eléctricas a las cuales Benjamin Franklin les dio el nombre de positiva y negativa.
Para demostrar este hecho, considérese que se frota una barra dura de caucho contra una piel y a continuación se suspende de un hilo no metálico, como se muestra en la fig. 1.1. Cuando una barra de vidrio frotada con una tela de seda se acerca a la barra de caucho, ésta será atraída hacia la barra de vidrio. Por otro lado, si dos barras de caucho cargadas (o bien dos barras de vidrio cargadas) se aproximan una a la otra, como se muestra en figura 1.1.b., la fuerza entre ellas será de repulsión. Esta observación demuestra que el caucho y el vidrio se encuentran en dos estados de electrificación diferentes. Con base en estas observaciones, podemos concluir que cargas iguales se repelen y cargas diferentes se atraen.
Figura 1.1. a). La barra de caucho cargada negativamente, suspendida por un hilo, es atraída hacia la barra de vidrio cargada positivamente. b). La barra de caucho cargada negativamente es repelida por otra barra de caucho cargada negativamente.
Otro aspecto importante del modelo de Franklin de la electricidad es la implicación de que la carga eléctrica siempre se conserva. Esto es, cuando se frota un cuerpo contra otro no se crea carga en el proceso. El estado de electrificación se debe a la transferencia de carga de un cuerpo a otro. Por lo tanto, un cuerpo gana cierta cantidad de carga negativa mientras que el otro gana la misma cantidad de carga positiva.
En 1909, Robert Millikan (1886-1953) demostró que la carga eléctrica siempre se presenta como algún múltiplo entero de alguna unidad fundamental de carga e. En términos modernos, se dice que la carga q está cuantizada. Esto es, la carga eléctrica existe como paquetes discretos. Entonces, podemos escribir q=Ne, Donde N es algún entero. Otros experimentos en el mismo periodo demostraron que el electrón tiene una carga de -e y que el protón una carga igual y opuesta de +e. Algunas partículas elementales, como el neutrón, no tienen carga. Un átomo neutro debe contener el mismo número de protones que electrones.
Las fuerzas eléctricas entre objetos cargados fueron medidas por Coulomb utilizando la balanza de torsión, diseñada por él. Por medio de este aparato, Coulomb confirmó que la fuerza eléctrica entre dos pequeñas esferas cargadas es proporcional al inverso del cuadrado de la distancia que las separa, es decir,
F 
1/r².
1/r². El principio de operación de la balanza de torsión es el mismo que el del aparato usado por Cavendish para medir la constate de gravitación, remplazando masas por esferas cargadas. La fuerza eléctrica entre las esferas cargadas produce una torsión en la fibra de suspensión. Como el momento de una fuerza de restitución de la fibra es proporcional al ángulo que describe al girar, una medida de este ángulo proporciona una medida cuantitativa de la fuerza eléctrica de atracción o repulsión. Si las esferas se cargan por frotamiento, la fuerza eléctrica entre las esferas es muy grande comparada con la atracción gravitacional; por lo que se desprecia la fuerza gravitacional.
Por lo tanto, se concluye que la carga eléctrica tiene las importantes propiedades siguientes :
1. Existen dos clases de cargas en la naturaleza, con la propiedad de que cargas diferentes se atraen y cargas iguales se repelen.
2. La fuerza entre cargas varía con el inverso del cuadrado de la distancia que las separa.
3. La carga se conserva.
4. La carga está cuantizada.
1.4. Ley de Gauss
Flujo eléctrico. Es la medida del número de líneas de campo que atraviesan cierta superficie. Cuando la superficie que está siendo atravesada encierra alguna carga neta, el número total de líneas que pasan a través de tal superficie es proporcional a la carga neta que está en el interior de ella. El número de líneas que se cuenten es independiente de la forma de la superficie que encierre a la carga. Esencialmente, éste es un enunciado de la ley de Gauss.
La relación general entre el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada (conocida también como superficie gaussiana) y la carga neta encerrada por esa superficie, es conocida como ley de Gauss, es de fundamental importancia en el estudio de los campos eléctricos.
La ley de Gauss establece que el flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie gaussiana cerrada es igual a la carga neta que se encuentra dentro de ella, dividida por E0.
La selección de Eo como la constante de proporcionalidad ha dado por resultado que el número total de líneas que cruzan normalmente a través de una superficie cerrada de Gauss es numéricamente igual a la carga contenida dentro de la misma. Ejemplo 1.1.
Calcule la intensidad del campo eléctrico a una distancia r de una placa infinita de carga positiva, como se muestra en la figura 1.2.
Fig.1.2. Cálculo del campo fuera de una lámina o placa delgada cargada positivamente
Solución.
Solución.
La resolución de problemas en donde se aplica la ley de Gauss suele requerir la construcción de una superficie imaginaria de forma geométrica simple, por ejemplo, una esfera o un cilindro. A estas superficies se les llama superficies gaussianas. En este ejemplo, se imagina una superficie cilíndrica cerrada que penetra en la placa de carga positiva de tal modo que se proyecta a una distancia r sobre cada lado de la placa delgada. El área A en cada extremo del cilindro es la misma que el área corta sobre la placa de carga. Por tanto, la carga total contenida dentro del cilindro es
S = sA
donde ð representa la densidad superficial de carga. Debido a la simetría, la intensidad del campo E resultante debe estar dirigida perpendicularmente a la placa de carga en cualquier punto cerca de la misma. Esto significa que las líneas del campo no penetrarán la superficie lateral del cilindro, y los dos extremos de área A representarán el área total por las que penetran las líneas del campo. De la ley de Gauss, (Varias formulas)
Nótese que la intensidad del campo E es independiente de la distancia r de la placa. Antes de que se suponga que el ejemplo de una placa infinita de carga es impráctico, debe señalarse que el sentido práctico, “infinito” implica solamente que las dimensiones de la placa están más allá del punto de interacción eléctrica.
1.5. Ley de Coulomb
En 1785, Charles Austin de Coulomb estableció la ley fundamental de la fuerza eléctrica entre dos partículas cargadas estacionarias. Los experimentos muestran que la fuerza eléctrica tiene las siguientes propiedades :
La fuerza es inversamente proporcional al inverso del cuadrado de la distancia de separación r entre las dos partículas, medida a lo largo de la línea recta que las une.
La fuerza es proporcional al producto de las cargas q1 y q2 de las dos partículas.
La fuerza es atractiva si las cargas son de signos opuestos, y repulsiva si las cargas son del mismo signo. A partir de estas observaciones podemos expresar la fuerza eléctrica entre las dos cargas como:
Ley de Coulomb de las fuerzas electrostáticas:
F = k ( |q1| |q2| )/r2
donde k es una constante conocida como constante de Coulomb o constante de proporcionalidad. En sus experimentos, Coulomb, pudo demostrar que el exponente de r era 2, con sólo un pequeño porcentaje de incertidumbre. Los experimentos modernos han demostrado que el exponente es 2 con un presión de algunas partes en 100.
La constante de coulomb k en el SI de unidades tiene un valor de :
9
k=8.9875.10 N.m2/C2
La ley de Newton predice la fuerza mutua que existe entre dos masas separadas por una distancia r; la ley de Coulomb trata con la fuerza electrostática. Al aplicar estas leyes se encuentra que es útil desarrollar ciertas propiedades del espacio que rodea a las masas o a las cargas.
Ejemplo 1.2. el átomo de hidrógeno.
El electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están separados en promedio por una distancia aproximada de 3.5X10-¹¹m. Calcúlese la magnitud de la fuerza eléctrica y de la fuerza gravitacional entre las dos partículas.
Solución.
Solución.
De la ley de Coulomb, podemos determinar que la fuerza de atracción eléctrica tiene una magnitud de
SOLUCIÓN MATEMATICA:
Usando la ley de la gravitación universal de Newton y la tabla 1.2 encontramos que la fuerza gravitacional tiene una magnitud de
SOLUCION MATEMATICA
La razón Fb/Fg = 3x1039 por lo tanto, la fuerza gravitacional entre partículas atómicas es despreciable comparada con la fuerza eléctrica entre ellas.
Tabla 1.2. Carga y masa del electrón, protón y neutrón.
1.6. Campo eléctrico
Definición de campo eléctrico
Tanto la fuerza eléctrica como la gravitacional son ejemplos de fuerza de acción a distancia que resultan extremadamente difíciles de visualizar. A fin de resolver este hecho, los físicos de antaño postularon la existencia de un material invisible llamado éter, que se suponía llenaba todo el espacio.
De este modo ellos podían explicarse la fuerza de atracción gravitacional, que rodea todas las masas. En el Macrocosmos, un campo de este tipo puede decirse que existe en cualquier región del espacio donde una masa testigo o de prueba experimentará una fuerza gravitacional. La intensidad del campo en cualquier punto sería proporcional a la fuerza que experimenta cierta masa dada en dicho punto. Por ejemplo, en cualquier punto cercano a la Tierra , el campo gravitacional podría representarse cuantitativamente por :
g = F/m donde :
g= aceleración gravitacional debida a la fuerza de gravedad
F = fuerza gravitacional ; m = masa testigo o de prueba
En el microcosmos, el concepto de un campo también puede aplicarse a objetos cargados eléctricamente. El espacio que rodea un objeto cargado se altera por la presencia de un campo eléctrico en ese espacio.
Se dice que un campo eléctrico existe en una región del espacio en la que una carga eléctrica experimente una fuerza eléctrica.
Esta definición suministra una prueba para la existencia de un campo eléctrico. Simplemente se coloca una carga en el punto en cuestión. Si se observa una fuerza eléctrica, en ese punto existe un campo eléctrico.
De la misma manera que la fuerza por unidad de masa proporciona una definición cuantitativa de un campo gravitacional, la intensidad de un campo eléctrico puede representarse mediante la fuerza por unidad de carga. Se define la intensidad del campo eléctrico E en un punto en términos de la fuerza F experimentada por una carga positiva pequeña +q cuando se coloca en dicho punto. La magnitud de la intensidad del campo eléctrico es dada por :
E = F /q
Líneas de campo eléctrico.
Una ayuda conveniente para visualizar los patrones del campo eléctrico es trazar líneas en la misma dirección que el vector de campo eléctrico en varios puntos. Estas líneas se conocen como líneas del campo eléctrico y están relacionadas con el campo eléctrico en alguna región del espacio de la siguiente manera :
El vector campo eléctrico E es tangente a la línea de campo eléctrico en cada punto.
El número de líneas por unidad de área que pasan por una superficie perpendicular a las líneas de campo es proporcional a la magnitud del campo eléctrico en esa región. En consecuencia, E es grande cuando las líneas están muy próximas entre sí, y es pequeño cuando están separadas.
Estas propiedades se ven en la figura 1.3. La densidad de líneas a través de la superficie A es mayor que la densidad de líneas a través de la superficie B. Por lo tanto, el campo eléctrico es más intenso en la superficie A que en la superficie B. Además, el campo que se observa en la figura no es uniforme ya que las líneas en ubicaciones diferentes apuntan hacia direcciones diferentes.
Figura 1.3. Líneas de campo eléctrico que penetran dos superficies. La magnitud del campo es mayor, por unidad de área, en la superficie A que en la B.
Algunas líneas representativas del campo eléctrico para una partícula puntual positiva se aprecian en la figura 1.4a. Obsérvese que en los dibujos bidimensionales sólo se muestran las líneas del campo que están en el plano que contiene a la carga. Las líneas están dirigidas radialmente hacia afuera de la carga en todas direcciones. Dado que la carga de prueba es positiva, al ser colocada en este campo, sería repelida por la carga q, por lo que las líneas están radialmente dirigidas hacia afuera desde la carga positiva. En forma similar, las líneas de campo eléctrico de una carga negativa puntual están dirigidas hacia la carga (Figura 1.4b). En cualquiera de los casos las líneas siguen la dirección radial y se prolongan al infinito. Nótese que las líneas se juntan más cuando están más cerca de la carga, lo cual indica que la intensidad del campo se incrementa al acercarse a la carga.
Las reglas para trazar las líneas de campo eléctrico de cualquier distribución de carga son las siguientes :
1. Las líneas deben partir de cargas positivas y terminar en las cargas negativas, o bien en el infinito en el caso de un exceso de carga.
2. El número de líneas que partan dela carga positiva o lleguen a la negativa es proporcional a la magnitud de la carga.
3. Dos líneas de campo no puede cruzarse.
Ejemplo 1.3. Campo eléctrico debido a dos cargas.
La carga q1=7µ C está colocada en el origen y una segunda carga q2=-5µ C está colocada sobre el eje x a 0.3m del origen (Fig. 1.5). Determine el campo eléctrico en un punto P con coordenadas (0,0.4)m.
Figura 1.5. El campo eléctrico total E en P es igual la suma vectorial E1+E2, donde E1es el campo debido a la carga positiva q1 y E2 es el campo debido a la carga negativa q2.
Solución.
Primero, encontremos las magnitudes de los campos eléctricos debidos a cada una de las cargas. El campo eléctrico E1 debido a la carga de 7 µ C y el campo eléctrico E2 debido a la carga de -5µ C en el punto P se muestran en la fig. 1.5. Sus magnitudes están dadas por
El vector E1 sólo tiene componente y. El vector E2 tiene una componente x dada por E2 cos Ø = 3/5 E2 y una componente y negativa dada por -E2 sen Ø = -4/5 E2. Por lo tanto, los vectores se pueden expresar como
El campo resultante E en P es la superposición de E1 y E2 :
De este resultado, podemos encontrar que E tiene una magnitud de 2.7X10(5)N/C
y hace un ángulo Ø de 66° con el eje positivo de las x.
